Los siguiente teoremas hacen parte importante de la trigonometría. Dichos teoremas son el teorema de los senos, el teorema del coseno y el teorema de las tangentes. Estos son útiles para describir un triángulo, a partir de ellos podemos conocer los ángulo o lados del triángulo sin conocerlos todos.
Teorema de los senos
Al ubicar el circuncentro del triángulo trazamos una circunferencia de radio R alrededor del triángulo tal que este quede circunscrito, podemos dibujar un triángulo rectángulo de hipotenusa dos veces el radio de la circunferencia.
A partir de esto podemos notar que
Cada lado de un triángulo es directamente proporcional al seno del ángulo opuesto.
Y dicha proporcionalidad se expresa en la siguiente formula que establece el teorema de los senos,
Ejemplo:
Dado un triángulo con lados y ángulos . Calcular el valor de los lados
Notemos que conocemos el lado y su ángulo opuesto , utilizamos el teorema de los senos para calcular primero el lado ,
Dado que la suma de los ángulos de un triángulo es , entonces el ángulo es
Final el teorema de los senos nos dice que el lado es
Teorema del coseno
Se podría decir que el teorema del coseno es el teorema de Pitágoras para triángulos no rectángulos. Ya que este estable lo siguiente
Esto significa que
En un triángulo el cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble producto del producto de ambos por el coseno del ángulo que forman.
Ejemplo:
Consideremos el siguiente triángulo con lados y ángulos Hallar el valor del lado .
Utilizaremos la fórmula del teorema del coseno, ya que esta nos relaciona los lados del triángulo que conocemos con el ángulo opuesto del lado desconocido. De esta forma tenemos que
Reemplazando los valores que conocemos tenemos que
Finalmente aplicando la raíz cuadrada, tenemos que
Teorema de las tangentes
El teorema de las tangentes es una formula que relaciona las longitudes de los lados de un triángulo con las tangentes de sus ángulos. Esta formula es consecuencia del teorema de los seno y la formula del seno de un ángulo medio. La formula es la siguiente
Ejemplo:
El siguiente triángulo tiene como lados y como ángulos a . Deseamos saber el valor de .
La formula para el teorema de las tangente nos relaciona el valor que buscamos con los lados del triángulo. Despejando tenemos que el valor que buscamos es
Por lo tanto solo debemos conocer el valor de , esto lo haremos utilizando el teorema del coseno. Dada la información tenemos que
Lo que nos dice que
Dado que , entonces
De esto podemos concluir que
Finalmente, el resultado es
Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
C=49 A=54 a=72
b = 40,2 a = 31, 5 B = 112 °20
Encontrar la solucion principal de la ecuación trigonometría asenX+bcosX = cl donde a, b y c son numeros reales y a≠0, b≠0
Ayúdeme en éste ejercicio por favor.
Complete el siguiente triángulo rectangulo, calculando sus ángulos en cada unos de los vértices:
* Ángulo del vértice (A) es alpha, y su dimensión es 7
* Hipotenusa es b.
* Ángulo del vértice (C) es beta, y su dimensión es raíz de 5.
Demostrar que los ángulos del triángulo es 90°, aplicando cada uno de los procesos.
Muy amable, gracias 🫂
Sj dos lados de un triangulo miden 200m y 18cm y el angulo comprendido, entre ello Calcular el área def trianguts
Resolver los siguientes Triángulos Oblicuángulos, aplicando las Leyes
del Seno, Coseno y/o Tangente:
o a = 41; b = 19,5; c= 32,48
o a=5,312; b = 10,913; c = 13
o a = 32,45; b = 27,21; C = 66° 56′
b = 50; c = 66,6; A = 83° 26′
o a=41; B = 27°50′; C = 51°
O
a= 78,6; A = 83°26′; B = 39°13′
me pueden ayudar es urgente